INECUACIONES
HISTORIA DE LAS INECUACIONES:

  • La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a.c. a 1700 d.c., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

  • La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

  • Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.

  • Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

  • Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
  • x + ax = b
  • x + ax + bx = 0
  • donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.


  • Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

  • Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 • 12/60 = 1 36/60 .

  • Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría

Inecuaciones
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
<
menor que
2x − 1 < 7

menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
>
mayor que
2x − 1 > 7

mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
solución
solución

(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
solución
solución

(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
solución
solución

(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
solución
solución

[4, ∞)

Inecuaciones de segundo gradox2 − 6x + 8 > 0
Pasos:
1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
solución a la ecuación
solución a la ecuación


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
gráfica
gráfica

S = (-∞, 2)
Unión
Unión
(4, ∞)


x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
solución
solución

(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
R
R



Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1)2 ≥ 0
R
R

x2 + 2x +1 > 0
(x + 1)2 > 0
R-1
R-1

x2 + 2x +1 ≤ 0
(x + 1)2 ≤ 0
x = − 1
x2 + 2x +1 < 0
(x + 1)2 < 0
vacio
vacio

x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
solución
solución


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es
R
R
.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución
x2 + x +1 ≥ 0
R
R

x2 + x +1 > 0
R
R

x2 + x +1 ≤ 0
vacio
vacio

x2 + x +1 < 0
vacio
vacio


Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
inecuación
inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4

Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica
gráfica

inecuación
inecuación

signos
signos

signos
signos

signos
signos

gráfica
gráfica

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2]
Unión
Unión
(4, ∞)

inecuación
inecuación

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
inecuación
inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:
signos
signos

signos
signos

signos
signos

solución gráfica
solución gráfica

S = (-∞, 2)
Unión
Unión
(7, ∞)




¿Què es una inecuacion?
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional". Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado

Ejercicio con una inecuacion:

Procedimiento:

1. Antes que todo, tenemos que resolver la operacion b^2-4ac, si esta nos da un resultado positivo (+), la inecuacion nos dara dos respuestas, si, el resultado nos da cero (0), la inecuacion tiene unicamente una respuesta, y si, el resultado es negativo (-), la inecuacion no tiene ninguna respuesta.

2. Una vez visto el resultado, se procede a sacar las respuestas correspondientes y hallar el cojunto solucion (CS)

y = ( 6x^2 + 2x - 2 ) ^ ( 1/2 )
6x^2 + 2x - 2 ≥ 0

CS: ( -∞ ; -0.76 ] u [ 0.46 ; ∞)


X
Y
-3
6.78
-2
4.24
-1
1.41


1
2.45
2
5.09
3
7.61
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BIBLIOGRAFIA:
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080608151812AARvYZ8
http://www.ditutor.com/inecuaciones/inecuaciones.html





sistemas de inecuaciones
SISTEMAS DE INECUACIONES
a: x² / 4 - y² / 16 ≤ 1
b: x² + y² ≤ 4

1. Se convierte en ecuación a la inecuación:

X² / 4 - y² / 16 = 1

2. Grafico la ecuación:

3. Escojo un punto en el plano ( x , y ); reemplazo y verifico:

Punto ( 1 , 1 )

(1)² / 9 – (1)² / 16 ≤ 1

1/8 - 1/9 ≤ 1 -----> VERDADERO

Punto ( 1 , 1 )

(1)² + (1)² ≤ 4

1 + 1 ≤ 4 -----> VERDADERO

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Creado con GeoGebra







inecuaciones con valor absoluto

propiedades:

lal ≥ b CS: a ≥ b u a ≤ -b


lal ≤ b CS: a ≤ b ^ a ≥ -b


lal ≤ lbl
a^2 ≤ b^2

EJERCICIO:

l 3x + 2 l ≥ 4

3x + 2 ≥ 4 u 3x + 2 ≤ -4

3x ≥ 2 u 3x ≤ -6

x ≥ 2/3 u x ≤ 2



CS: ( -∞ , 2/3 ] U [2 , ∞ )